Associazione Rally Matematico Transalpino

Association Rallye Mathématique Transalpin

Thème de la 23ème Rencontre Internationale

23ème rencontre internationale du Rallye Mathématique Transalpin
Alghero (Italie) - 25, 26, 27 octobre 2019

L'élève devant un problème, l'analyse a priori de ses tâches :
réfléchir sur son point de vue

 

DESCRIPTION DU THÈME

 

Préambule
Il y a plus de 20 ans que nous analysons a priori nos problèmes du RMT.
Ces analyses ont peu à peu pris leur forme actuelle en rubriques :
a) énoncé
b) tâche mathématique
c) analyse de la tâche
d) critères d'attribution des points

a) Comme pour tout problème, la clarté et la lisibilité de l'énoncé sont essentiels, en particulier pour les problèmes de concours que les élève doivent affronter sans aide de l'enseignant.
Un choix du RMT est de proposer des « problèmes » plutôt que des « exercices ». Cette distinction n'est pas toujours évidente, mais elle a des incidences sur les énoncés et sur les question posées qui doivent être rédigées de manière à ne pas empiéter sur certaines responsabilités dévolues à l'élève. L'analyse a priori de la tâche de l'élève aura donc des répercussions sur l'énoncé.
b) La rubrique « tâche mathématique » est le résumé succinct de ce qu'il faut faire pour résoudre le problème après la phase d'appropriation. Elle est rédigée en langage de l'adulte, et sera reprise dans la rubrique résumé de la fiche correspondante de la banque de problème.
C'est à la suite de l'analyse a priori de la tâche de l'élève que cette « tâche mathématique » trouvera sa formulation définitive. Il faut en effet examiner avec attention les notions mathématiques en jeu : relations, opérations, types de nombres, savoirs à mobiliser.
c) Ce que nous appelons « analyse de la tâche » comme intitulé de notre troisième rubrique est au cœur de nos analyses a priori et a des incidences sur toutes les autres rubriques.
d) L'attribution de points est nécessaire pour les besoins du « concours ». Comme le RMT a choisi de partager les points entre la réponse correcte et les explications, il faut décrire les critères d'attribution des point. Là encore, l'analyse de la tâche sera utile si l'on veut comprendre ce que les élèves nous disent.

 

Les différentes tâches de l'élève.
Dans l'analyse des tâches, il y a, deux grandes catégories de tâches : celles d'appropriation et celles de résolution.
- L'appropriation est la plus délicate à décrire : il faut imaginer ce que l'élève va lire dans l'énoncé que nous lui proposons, comment il va se représenter le contexte de la situation, que va-t-il « voir » sur les images ou figures proposées, à quels problèmes de son répertoire personnel (mémoire) va-t-il penser, comment va-t-il repérer les données pertinentes, les données superflues, les détails du contexte qui n'ont rien à voir avec la résolution.
- La résolution semble plus familière pour l'enseignant qui « sait comment faire » et a déjà observé la vaste gamme d'erreurs commises par ses élèves.
Mais il faut aller au-delà et réfléchir sur le statut des connaissances de ses élèves afin de pouvoir déterminer soit les obstacles qu'ils rencontreront, soit les procédures à leur disposition. Ce statut d'un savoir déjà rencontré par l'élève lors de son parcours scolaire correspond-il à celui imaginé par le maître qui l'a « enseigné » ? ou par ce qui est décrit dans les programmes ? Par exemple, la mémorisation de la formule de l'aire du triangle, ne signifie pas qu'elle soit mobilisable si la base et la hauteur ne sont pas reconnues, si on n'a pas pris conscience que l'aire est proportionnelle à la mesure de la base, mais aussi à celle de la hauteur ... Il faut aussi estimer la difficulté de la combinaison de deux savoirs. Par exemple la maîtrise des problèmes additifs peut être entièrement perturbée par l'introduction d'une relation multiplicative entre deux états.

 

Nos expériences et les données recueillies sur les tâches d'appropriation
Nos problèmes sont « contextualisés », c'est un choix du RMT, pour mieux les distinguer des exercices et pour maintenir une « distance » entre nos épreuves et ce qui se passe dans les pratiques de classe organisées thème par thème ou notion par notion. La tâche d'appropriation comprend la « décontextualisation ». Les adultes connaissent les rituels et les implicites des contextes imaginés, ils savent par exemple que l'introduction de personnages ne modifie en rien les relations numériques. Mais les élèves – les jeunes en particulier – prennent à la lettre les données contextuelles et ne distinguent souvent pas facilement les détails de la fiction qu'ils pourront ignorer des informations objectives à prendre en compte pour la résolution. L'adaptation des contextes imaginés par l'adulte aux capacités d'interprétation des élèves est une opération difficile, comme l'est l'analyse de la tâche de « décontextualisation » parmi celles d'appropriation du problème.
La question est alors de savoir où l'on apprend à analyser les tâches d'appropriation. En formation des maîtres, par son expérience personnelle, par des lectures d'articles de didactique (peu nombreux sur ce thème) ? Le RMT propose à cet effet les analyses de copies d'élèves, tout en sachant qu'il faut en lire beaucoup ! et si possible les commenter à plusieurs, ce que font nos groupes de travail.
Dans ce domaine, il nous faut bien admettre que nous avons beaucoup à apprendre. C'est un vaste champ d'investigation à défricher par nos analyses a posteriori.

 

Nos expériences et les données recueillies sur les tâches de résolution
Analyser a priori une tâche de résolution ne signifie pas décrire les différents parcours possibles pour arriver à la solution, comme le ferait l'adulte. C'est, avant cela, envisager une à une chaque opération, chaque relation en prenant en compte le statut des connaissances mobilisées très souvent approximatives, incomplètes, rencontrées dans un contexte différent et inefficaces pour la recherche en cours. Il faut rappeler ici que les élèves ne disposent pas d'une stratégie préconstruite parce que, selon notre conception du « problème » du RMT, ils sont dans une situation nouvelle pour laquelle ils doivent inventer, tâtonner, choisir, essayer leur propre cheminement. Ils font bien sûr appel à leur mémoire en allant rechercher des procédures, complètes ou partielles, qui se sont révélées efficaces dans un des problèmes de leur répertoire, mais ils doivent les adapter, les ajuster et, en cas d'échec, en trouver d'autres.
Celui qui conduit cette analyse doit se mettre dans la peau de celui « qui ne sait pas encore » et chacun sait qu'il est difficile de se remémorer ses propres errances passées, comme on ne sait plus quels étaient les mouvements qu'on ne faisait pas correctement avant de savoir nager ou d'aller à bicyclette !
Comme précédemment, on revient à la question de savoir où l'on apprend à analyser les tâches de résolution du point de vue de l'élève. La formation des maîtres et la recherche en didactique l'abordent certes, l'expérience personnelle peut y contribuer, mais nous avons constaté que ce sont, de nouveau, les analyses a posteriori ou les copies d'élèves qui nous aident souvent de reconstituer ces tâches complexes.

 

Les destinataires de l'analyse a priori de la tâche de l'élève
Dans le cadre du RMT, cette analyse a priori a des buts et destinataires spécifiques, différents des autres analyses a priori que fait un enseignant pour la conduite de sa classe, que fait un étudiant en formation pour préparer une leçon, que fait un chercheur au moment de la conception d'une expérimentation.
Les analyses a priori sont apparues dès le 6e RMT, elles se limitaient alors à quelques lignes : le domaine mathématique, une analyse de la tâche réduite à la présentation des solutions et les critères d'attribution des points.
Puis l'analyse de la tâche s'est progressivement développée pour occuper parfois une page entière, avec une énumération (les « ou ») des procédures ou stratégies pour arriver à la solution, imaginées par les rédacteurs et relecteurs. Ces procédures, malgré l'effort de chercher à se placer du point de vue de l'élève, restent hypothétiques tant qu'elles ne sont pas confirmées ou inspirées par les analyses a posteriori de problèmes analogues, qu'on trouve dans nos publications antérieures, dans les articles de la Gazette de Transalpie et maintenant dans la Banque de problèmes du RMT.
Il faut remarquer que nos analyses a priori de la tâche de l'élève ne sont pas publiées ailleurs que dans les épreuves, pour accompagner les énoncés de problèmes. Après leur rédaction et la phase de consultation, elles ne sont en fait destinées qu'aux personnes chargées d'attribuer les points pour chaque épreuve.
Il est donc légitime de se pencher sur la fonction de ces analyses de la tâche. En voici quelques-unes, à discuter et ordonner selon l'importance que le RMT décidera de leur accorder :
- Préparent-elles la rédaction des critères d'attribution des points ?
- Sont-elles indispensables pour le choix des catégories auxquelles on proposera le problème ?
- Peuvent-elle être utiles et précieuses pour les correcteurs, leur permettant « plus facilement » d'interpréter les copies des élèves ?
Une fois que les hypothèses de ces analyses a priori sont confirmées ou réfutées par les analyses a posteriori, leurs données devraient constituer une base pour l'élaboration de nouveaux problèmes, variantes de problèmes déjà proposés. Les groupes de travail du RMT et les sections qui doivent proposer de nouveaux sujets sont évidemment leurs destinataires prioritaires, comme les membres du Groupe problèmes et les relecteurs des épreuves.
Ces données devraient aussi intéresser la formation et tous les enseignants qui exploitent les problèmes du RMT pour leur classe.

 

 

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