Associazione Rally Matematico Transalpino

Association Rallye Mathématique Transalpin

Theme de la 22ème Rencontre Internationale

22ème rencontre internationale du Rallye Mathematique Transalpin

Pont-Saint-Martin (Italie) - 26-27-28 octobre 2018

La Banque de Problèmes de l'ARMT :
entreprise coopérative en attente d'interlocuteurs

DESCRIPTION DU THEME

 

Introduction
La banque de problèmes du RMT offre actuellement plus de 1000 fiches, classées par domaines, familles, épreuves des rallyes, catégories et mots-clés, ces derniers organisés en vocabulaire du titre, concepts, etc. Ces fiches comprennent, outre l'identification et l'énoncé du problème, les rubriques suivantes : un résumé pour la plupart d'entre elles, la tâche de résolution et savoirs mobilisés (souvent repris de l'analyse a priori), les résultats statistiques pour les fiches des 12 dernières édition du RMT, les procédures obstacles et erreurs relevés et des propositions d'exploitations didactiques, pour encore une minorité d'entre elles.
On peut envisager sereinement le passage d'un répertoire des problèmes du RMT à un statut plus ambitieux, celui d'un instrument de travail pour tous ceux qui s'intéressent aux apports de la résolution de problèmes à la construction des connaissances mathématiques par l'élève ou à la didactique des mathématiques : les enseignants en particulier, mais aussi les formateurs et les chercheurs.
En plus de 25 ans, le RMT a recueilli une grande quantité de connaissances sur la manière dont les élèves résolvent ses problèmes. Ces données nourrissent la Banque de problèmes dont la structure est en place. On peut donc envisager sereinement le mouvement inverse, vers l'extérieur : diffuser ces connaissances, les faire connaître, les mettre à disposition de tous ceux qui s'y intéressent ; afin d'éviter qu'elles ne restent au stade statique d'une accumulation de données. Pour les faire vivre, on a besoin de la coopération de tous ceux qui vont les utiliser, pour la création de nouveaux problèmes, pour les analyses a posteriori, pour l'exploitation didactique des résultats en classe, pour la formation initiale et continue des enseignants ... Aux usagers qui ont participé au recueil de données pourront se joindre d'autres participants et utilisateurs pour poursuivre, en coopération, la construction de l'instrument dynamique que représente la « Banque de problèmes ».
Au cours de la rencontre, nous essayerons de définir ce que l'on entend par construction coopérative et réfléchirons sur les moyens de la mettre en pratique. Nous aborderons à cet effet les points suivants de cette présentation.

Familles de tâches et entrée dans la banque
Tout recueil de données a besoin d'une classification permettant de les retrouver rapidement et efficacement à l'instar d'un catalogue d'une bibliothèque.
L'utilisateur de la banque peut rechercher une fiche selon plusieurs entrées. Par exemple, celle des « mots du titre » est utile pour un animateur du RMT qui a une mémoire des problèmes qu'il a déjà rencontrés au cours des années précédentes. L'entrée par les « concepts » conviendra mieux à un enseignant qui désire organiser une activité sur une notion particulière.
L'entrée qui paraît actuellement la plus adaptée aux auteurs de problèmes et à ceux qui veulent réaliser des analyses a priori est celle des « famille de tâches. »
Le concept de « tâche » est contemporain de celui de nos analyses a priori (dès le 4e RMR et le 5e RMT) et apparaît explicitement dans le titre de la rubrique « Analyse de la tâche ».
Cette « tâche » était cependant encore bien vague à nos débuts et ce sont nos pratiques d'analyses a priori, puis celles d'analyses a posteriori qui ont permis de l'affiner progressivement et d'en percevoir les différentes composantes :

  • la tâche de lecture de l'énoncé et d'appropriation de la situation,
  • la tâche de décontextualisation ou de transposition dans le cadre mathématique,
  • la tâche d'identification des grandeurs indéterminées et de leurs relations,
  • la « tâche mathématique » de la première rubrique de nos analyses a priori (depuis le 22e RMT), qui s'est substituée à l'ancienne rubrique « domaine de connaissances ») et finalement
  • la tâche de résolution dans laquelle les élèves s'engagent dans la recherche des solutions

Les familles et sous-familles de tâches actuelles sont issues de choix opérés par les gestionnaires de la BP, au fur et à mesure de l'intégration dans la banque des énoncés et des données recueillies. Quelques groupes de travail ont participé à ces choix qui n'ont pas encore fait l'objet de consultations élargies ni de débats.
La définition et la description des « familles de tâches » s'appuient principalement sur les « résumés » des problèmes de la banque, inspirés directement du texte de la rubrique « tâche mathématique » des analyses a priori. Une famille regroupe tous les problèmes que l'on juge « proches » les uns des autres, par les opérations à effectuer, les objets sur lesquels on travaille, leur degré de complexité ... à la lecture de leur résumé.
Pour s'entendre sur les critères de regroupement des problèmes en familles de tâches, il faut étendre la discussion à tous les partenaires de la BP ; gestionnaires, groupes de travail, auteurs de problèmes et tous les utilisateurs. Comment juger si deux problèmes sont « proches » ou conduisent à des recherches analogues ?
Lors de la rencontre les groupes de travail seront amenés à examiner de manière critique et constructive quelques familles de tâches du point de vue de leur description générale : lisibilité, clarté, cohérence, rigueur ; puis de la pertinence des regroupements des problèmes qui composent la famille.

Les partenaires de la banque
Les fiches de la banque ont, au-delà de leur fonction d'archive ou de répertoire, des composantes d'ordre didactique : description des tâches de résolution et savoirs mobilisés, résultats, procédures, obstacles et erreurs relevés lors des analyses a posteriori et finalement une rubrique exploitation didactiques qui répond à une des finalités du RMT : proposer une source de renouvellement pour les enseignants.
L'élaboration et la rédaction de ces rubriques didactiques de nos fiches ne peut se faire qu'en partenariat : aux gestionnaires de la banque et aux membres de nos groupes de travail, doivent se joindre tous les animateurs actuels du RMT et tous ceux qui, à divers titres, vont utiliser les problèmes pour leur classe et vont nous retourner les informations sur ces pratiques.
Il nous faut dépasser la dichotomie producteurs / consommateurs pour arriver à une conception coopérative de notre BP : une construction collective où chacun apporte sa contribution, de l'endroit où il se situe ; à l'image de ce qui se fait au sein du RMT depuis plus de 25 ans dans l'organisation des épreuves, la rédaction des problèmes, les attributions des points, les analyses a posteriori, les exploitations en classe.
Lors de la rencontre, nous aurons l'occasion d'écouter ceux qui ont déjà utilisé certaines fiches de notre BP qui nous communiquerons leurs expériences, leurs propositions d'adaptations, de modifications, de développements. Ce sera l'occasion de définir plus précisément les partenaires et les modalités de coopération pour la création, l'adaptation et l'utilisation des fiches.

Analyse a posteriori et différenciation de l'enseignement
Les plans d'études ou programmes nationaux de mathématiques préconisent la résolution de problèmes et la différentiation pour l'enseignement des mathématiques. L'une comme l'autre sont parfois « invoquée » comme des formules magiques permettant de faire accéder les élèves aux connaissances requises.
Les données recueillies par le RMT montrent ce qui se passe effectivement lorsque l'on propose à des élèves de résoudre des problèmes : la richesse et la variété des procédures, la diversité des états de construction des connaissances, les obstacles, les erreurs, les lacunes, le langage des uns et des autres ... On prend alors conscience de ce que signifie la différenciation à mettre en œuvre pour répondre aux besoins de chaque élève.
Cette double complexité, de la résolution de problèmes qui fait apparaître les niveaux de construction des connaissances, et de la différenciation qui est nécessaire pour la gestion des apprentissages qui en découlent, apparaît dans les fiches de la banque, en particulier dans leurs rubriques « tâche de résolution et savoirs mobilisés » et « procédures obstacles et erreurs relevés ». Elles se situent au cœur du processus de formation, initiale et permanente, des enseignants, formateurs et didacticiens.
Des réflexions seront menées à propos de ces rubriques lors de la rencontre sur la base de quelques questions : Comment peuvent-elles refléter ce qui se passe effectivement chez l'élève ? Quel pourrait être leur rôle pour la formation des enseignants, que ce soit dans la perspective de présentation de données ou dans celle plus ambitieuse d'évolution de conceptions de l'apprentissage ?

Exploitation didactique et gestion de la résolution de problèmes en classe
L'exploitation en classe des problèmes de la banque se fait dans des conditions tout à fait différentes de celles de la passation des épreuves du RMT : le maître est présent, la résolution du problème s'inscrit dans un « parcours » ou « programme de la classe » qu'il a déterminé lui-même, avec des finalités qui ne sont plus celles d'une confrontation ou d'un concours mais celles d'une construction de connaissances mathématiques.
La rubrique « exploitations didactiques » des fiches, qui tient compte des résultats et des analyses a posteriori des copies d'élèves devrait aider l'enseignant qui souhaite proposer le problème en classe : aides éventuelles à l'appropriation si le problème s'est révélé trop difficile, adaptation aux niveau de la classe, modalités de gestion des phases de recherche et des phases de mise en commun, suggestions de développements, sensibilisation aux différentes procédures, aux obstacles et aux erreurs susceptibles d'apparaître.
Une partie des travaux de groupes de la rencontre sera consacrée à l'écriture de cette rubrique : qui peut la rédiger ? selon quelles modalités de collaboration ? dans quel langage ? avec quels degrés d'approfondissement ?

En conclusion, l'instrument que nous forgeons ensemble est en évolution permanente. Pour qu'il vive, il faut le nourrir, non seulement en épreuves et problèmes nouveaux, en données recueillies après les passations, en analyses des résultats, mais aussi en retours de pratiques et expérimentations afin qu'il s'adapte au mieux aux besoins de ses utilisateurs.

 

 

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